Matematyka na giełdzie

Przeczytałem niedawno książkę "Matematyk gra na giełdzie" J.A. Paulosa, który utopił fortunkę na dotcomach, ciekawie wtyłumaczył kilka zjawisk i zgrabnie wyjaśnił, dlaczego AT nie działa :) Autor jest przykładem, że wiedza akademicka nie zawsze stoi w parze ze świadomością. Przez bite dwa lata uśredniał w dół akcje i opcje kupna na WorldCom aż do bankructwa swojej perły.

Książka przedstawia różne koncepcje na temat rynków kapitałowych, które są dla mnie bardziej intelektualną zabawą, jednak znalazło się kilka rzeczy, o których warto wiedzieć i stosować w praktyce. Co do AT, to moim zdaniem autor (z książki wynika, że jest zwolennikiem błądzeń losowych) nie wgłębił się w jej naturę i nie zgadzam się z jego przekonaniami. Moim zdaniem giełda jest, podobnie jak świat, chaotyczna. Rządzą nią pewne prawa, jednak czynników jest tak wiele i tak bardzo ukrytych przed nami, że nie potrafimy przewidywać ruchów cen.

Są jednak ludzie, których mózgi odnalazły ukryte zależności i dzięki temu robią na giełdzie fortuny. Nie musi to być uświadomiona umiejętność, są przecież ludzie autystyczni, którzy obliczają nieliniowe problemy w ułamku sekundy lub grają Chopina po pierwszym przesłuchaniu.

Co ciekawe autor przygotował dość proste matematyczne uzasadnienie takich przypadków: tak jak w serii 10 rzutów monetą trafia się statystycznie raz na 1024 razy seria 10 orłów, tak też nie powinien dziwić fakt, że są fundusze, które notują regularnie wysoką stopę zwrotu. Z teorii prawdopodobieństwa wynika, że takie fundusze wygrywające muszą występować, jak i muszą występować regularni looserzy.

W różnych okresach pewne taktyki gry przynoszą ponadprzeciętne zyski i dopiero ich szerokie zastosowanie sprowadza skuteczność do 0.  Podoba mi się sposób, w jaki Paulos wytłumaczył zasadę regresji do średniej. Wśród sportowców rozpowszechniony był mit pechowego wpływu zdjęcia na okładce pewnego magazynu sportowego. Każdy rekordzista, który dostąpił zaszczytu bycia na pierwszej stronie, niemal natychmiast doznawał kontuzji lub tracił formę.

Tymczasem wytłumaczenie z matematycznego punktu widzenia jest proste: sportowcy są aktualnie bardzo dobrze wytrenowani i niewiele odstają od siebie umiejętnościami. Jednocześnie każdemu może przytrafić się seria suckesów - znowu podstawy prawdopodobieństwa. Po tej serii sukcesów oczy wszystkich zwracają się na sportowca, magazyny wrzucają jego podobiznę na pierwszą stronę po czym.. następuje regresja do średniej :)

Podobnie jest ze spółkami, walutami i towarami. Każda akcja budzi reakcję. Metodę regresji do średniej stosowałem od samego początku z całkiem dobrymi rezultatami. Nie wymaga ona wielkiej filozofii - w przypadku spółki oceniam najpierw fundamenty, stabilność i płynność; takie wymogi spełniał w tym roku PGE i PGN. Ceny poniżej wartości księgowej, dywidendy, można było założyć, że wkrótce nastąpi wychylenie w stronę lekkiego przewartościowania i będzie zarobek. I był.

Inny przykład to dolar. Zajrzyjmy na wykres dzienny ze średnimi sma200 i sma400:

Sądząc po średnich dolar może być lekko niedowartościowany, ale jest już zbyt blisko średnich, by podjąć dobrą decyzję na najbliższe tygodnie. Dobrą okazją do kupna było wychylenie z listopada, a wcześniej można było sprzedawać w czerwcu. Przejdźmy na wykres tygodniowy:

Widzimy, że od 2 lat dolar konsoliduje się przy średniej 200-tygodniowej. Względem niej nie jest ani przewartościowany, ani niedowartościowany. Przejdźmy zatem na wykres miesięczny:

Tym razem średnia 200-miesięczna biegnie znacznie powyżej aktualnych poziomów. Można zatem szukać okazji do gry na wzmocnienie dolara w perspektywie kilku najbliższych lat.

Taktyka regresji do średniej wymaga dobrego MM, jest z zasady anty-trendowa, choć można otwierać pozycje na krótszych interwałach po zmianie trendu krótkoterminowego. Na chłopski rozum stosuje ją większość graczy, którzy zgadują górki i dołki, jednak w ich przypadku nie ma podejścia metodycznego. "Kupuj gdy leje się krew, sprzedawaj gdy wszyscy są chciwi" to też jedno z pasujących powiedzeń.

Kolejne praktyczne spostrzeżenie, którego wagi nie docenia większość inwestorów: średni zwrot z inwestycji. Czy możemy stracić na inwestycji, która co miesiąc przynosi średnio 1% zysku w skali roku? Poprzednio napisałem, że celuję w podobny wynik. Zróbmy najprostsze wyliczenie:

Kapitał początkowy: 30000

1% 30300
1% 30603
1% 30909,03
1% 31218,12
1% 31530,3
1% 31845,6
1% 32164,06
1% 32485,7
1% 32810,56
1% 33138,66
1% 33470,05
1% 33804,75
średni zysk miesięczny: 1%
roczny zwrot z inwestycji: 12,68%

Teraz wprowadźmy kilka modyfikacji - nasz system notuje lepsze i gorsze miesiące, ale średnio i tak wyciąga 1% miesięcznie:

2% 30600
-3% 29682
5% 31166,1
3% 32101,08
1% 32422,09
-3% 31449,43
2% 32078,42
-4% 30795,28
1% 31103,24
4% 32347,37
2% 32994,31
2% 33654,2
średni zysk miesięczny: 1%
roczny zwrot z inwestycji: 12,18%

Stopa zwrotu już pół procenta niższa niż poprzednio. A co jeśli ryzykujemy bardziej, grając np. całym kapitałem?

30000
-30% 21000
0% 21000
0% 21000
40% 29400
0% 29400
0% 29400
-20% 23520
0% 23520
20% 28224
0% 28224
1% 28506,24
1% 28791,3
średni zysk miesięczny: 1%
roczny zwrot z inwestycji: -4,03%

Średnio zarabialiśmy 1% miesięcznie, by rok skończyć ze stratą 4.03% . Na koniec zabawmy się w gracza foreksowego, który chce szybko zarobić krocie na wysokim lewarze i wyciąga średnio 1% miesięcznie:

30000
-50% 15000
52% 22800
-50% 11400
52% 17328
-50% 8664
52% 13169,28
-50% 6584,64
52% 10008,65
-50% 5004,33
52% 7606,58
-50% 3803,29
52% 5781
średni zysk miesięczny: 1%
roczny zwrot z inwestycji: -80,73%

Z 30 zostało nam mniej niż 6 tys. Jest to powszechna pułapka, którą zastawiają na nas zarządzający funduszami - zarobiliśmy dla naszych klientów średnio 10% rocznie przez ostatnie 10lat! Wpłacasz a potem się okazuje, że ciężko pokonać w dłuższym terminie lokatę.

Widzimy, że w przyjętym interwale czasowym (np. miesiącu) lepiej pracować w pierwszym rzędzie nad zachowaniem kapitału a dopiero potem nad maksymalizacją stopy zwrotu. Tutaj tkwi również przyczyna niepowodzeń większości inwestorów. Załóżmy, że kupiłeś akcje 2 firm za dwie równe części kapitału - jedna urosła 20%, druga straciła 20%. Ostateczny wynik: 0, jednak decydujesz się na realizację zysku na pierwszej a drugą uśredniasz, żeby odrobić stratę. Skąd my to znamy? U większości niedojrzałych graczy największa pozycja jest zawsze ta najbardziej stratna.

Bardzo niedoceniany czynnik na giełdzie to prowizje. Dwóch inwestorów gra na akcjach spółki, której cena wynosi 1zł. Jeden chce sprzedać drugiemu 10tys. akcji, po czym odkupić je w tej samej cenie. Prześledźmy transakcje:

Przed sprzedażą:
Portfel 1:
0zł na koncie, 10tys. akcji wycenianych na 10000zł

Portfel 2:
10000zł na koncie
Suma: 20000zł.

Sprzedawca wystawia 10k akcji na S, ale nabywca kupuje tylko tyle, ile może po odjęciu prowizji:

Po transakcji:

Portfel 1:
9922.15zł na koncie, 39 akcji wartych 39zł
Portfel 2:
9961 akcji wycenianych na 9961zł, 0.15zł na koncie
Suma: 19922.3zł.

Teraz akcje wracają do poprzedniego właściciela:

Portfel 1:
0.61zł na koncie, 9883 akcji wartych 9883zł

Portfel 2:
78 akcji wycenianych na 78zł, 9844.46zł na koncie

Suma: 19806.07zł.

Jedna transakcja kupna-sprzedaży zabiera z rynku 0.78% wartości transakcji. Kiedy kupujesz i sprzedajesz pakiet akcji, z rynku znika 1.56% wartości transakcji. Jaki z tego płynie wniosek praktyczny? Jeśli na giełdy nie płynie kapitał z zewnątrz, twoje szanse na zarobek maleją. Maleją jeszcze szybciej kiedy w czasie bessy ludzie uciekają z funduszy.

Wniosek? Szukaj biura z niską prowizją lub ograniczaj liczbę transakcji. Ze wzlędu na psychiczne uwarunkowania, inwestowanie na długich odcinkach czasowych w moim wypadku póki co odpada. Dlatego wybrałem XTB, gdzie prowizja wynosi 0.25% od transakcji.

Na koniec odpowiedź, dlaczego nie gram na funduszach. Załóżmy, że nasz fund ma 60% szansy zarobić 1% w danym miesiącu i 40% stracić 1%. Wrzucamy dane do arkusza kalkulacyjnego:

Kapitał: 10000zł
1%    10100
1%    10201
1%    10303,01
1%    10406,04
1%    10510,1
-1%   10405
1%    10509,05
-1%   10403,96
1%    10508
-1%   10402,92
-1%   10298,89
1%    10401,88

Na koniec roku mamy ok. 4%. Gdybyśmy teraz sprzedali, zapłacimy podatek 19% i netto otrzymamy 3.25%. Jednak załóżmy, że gramy aktywnie i na koniec miesiąca wypłacamy pieniądze. Jeśli osiągamy zysk, płacimy 19% podatku:

1%   10081
1%   10162,66
1%   10244,97
1%   10327,96
1%   10411,61
-1%  10307,5
1%   10390,99
-1%  10287,08
1%   10370,4
-1%  10266,7
-1%  10164,03
1%   10246,36

Tym razem zysk to niecałe 2.5% . Kiedy tracimy, księgujemy 100% ubytku, jednak gdy zyskujemy, na konto trafia tylko 81% profitu. Doliczmy do tego wysokie prowizje funduszy i mamy odpowiedź, dlaczego większość Polaków na nich traci.

Znowu matematyka (i przepisy podatkowe) grają przeciwko nam. Dlatego lepiej byłoby kupić na giełdzie jakiś ETF, niestety póki co mamy taki tylko na WIG20.

PS Zapomniałem napisać o bardzo ważnej rzeczy, którą przypomniała mi książka: w układzie chaotycznym nie ma sensu prognozować za daleko w przód. Dlaczego? Ponieważ błędy bardzo szybko się kumulują. Z tego względu niemożliwe jest przewidywanie pogody na dłużej niż tydzień w przód.

Tymczasem inwestorzy (zwłaszcza elliotowcy) bardzo często rysują możliwe scenariusze z dokładną rozpiską fal. Jeśli oznaczasz pierwszy impuls z trafnością 60%, wystąpienie tego i kolejnego jest mniej prawdopodobne. W układzie quasi-losowym, w którym określasz przyszły ruch zawsze z szansą 60% i jest on niezależny od poprzedniego, szansa że twój np. 3 falowy ruch wystąpi wynosi tylko 0.6*0.6*0.6 = 21.6%!

Jeśli uznamy, że fale Elliota działają i mamy tu prawdopodobieństwo warunkowe (czyli np. jeśli wystąpi impuls A, to szansa, że pojawi się B jest 75%) prawdopodobieństwo całkowite będzie co prawda wyższe niż 21.6%, ale nadal niewielkie.

Mamy tu do czynienia z kolejną pułapką: np. rozrysowujesz impuls falowy na dłuższy okres i indeks idzie jak po sznurku. Wzrasta wtedy twoja wiara w zakreślony scenariusz - odwrotnie do szansy wystąpienia całego układu w rzeczywistości.