Przekraczanie granic

Tytuł niczym z amerykańskiego poradnika dla sprzedawców domów, posłuży mi do opisania pojęć takich jak przyzwyczajenia, dogmaty, poglądy. W życiu kierujemy się naukami wyniesionymi z domu, szkoły i własnymi doświadczeniami. Metody radzenia sobie z problemami czy spędzanie wolnego czasu zazwyczaj ewoluują z wiekiem. Jest natomiast grupa założeń, silnie kierujących naszym postępowaniem, które przyjmujemy za pewnik i w ogóle nie zastanawiamy się nad ich sensem.

Z góry proszę o pobłażliwość matematyków, do pojęć matematycznych będę stosował własne słowa.

W szkole podstawowej poznajemy wpierw liczby naturalne. Odnosimy je do ilości np. palców, jabłek czy ptaków na gałęzi. Pamiętam, jak operując nowo poznanym aparatem działań arytmetycznych, próbowałem obliczyć wynik działania 3-8. Za nic nie mogłem wyobrazić sobie -5 jabłek. Dopiero po jakimś czasie poznaliśmy liczby ujemne, które wytłumaczono nam na przykładzie długu i po wykonaniu dziesiątek zadań, stały się one czymś tak oczywistym jak liczby dodatnie. Z liczbami wymiernymi i niewymiernymi problemów nie miałem, łatwo "widziałem" je na wykresach figur.

Wyobraźmy sobie, że starożytni Grecy byli przerażeni odkryciem liczb niewymiernych, które nie dają się wyrazić ilorazem dwóch liczb całkowitych. Budowali sobie piękne teorie o doskonałości liczb całkowitych i odkrycie wyrastające poza nie, zburzyło im postrzeganie świata. Podobnie reagowali uczeni na odkrycie (wynalezienie?) liczb zespolonych, które "nie istnieją" w rzeczywistości (w jednej z francuskich uczelni wybuchł nawet bunt przeciw nauczaniu tych liczb). Do dziś sławetne "i" nosi nazwę jednostki urojonej, mimo że liczb zespolonych używa się do rozwiązywania wielu fizycznych problemów.

Pojęcie liczby należało całkowicie przedefiniować. Matematycy wprowadzili podstawowe aksjomaty dla liczb naturalnych, z których wyprowadzają twierdzenia i kolejne zbiory liczb. Nic nie stoi na przeszkodzie zdefiniowania innych działań czy własności liczb, tracą one jednak wtedy odniesienie do rzeczywistości i stają się sztuką dla sztuki. Odseparowanie liczby od ilości obiektów czy odległości, pozwoliło wynieść matematykę na uniwersalny poziom, z którego matematycy budowali konstrukcje, dla których zastosowanie praktyczne znajdywano wiele lat później. W takim ujęciu liczby zespolone nie są niczym więcej, niż logiczną konstrukcją, której szczególnym podzbiorem są liczby rzeczywiste. Można zdefiniować kolejne ciało "liczb", dla którego to liczby zespolone są szczególnym zbiorem (i w istocie takie liczby powstały - kwaterniony).

Proces taki można prowadzić w nieskończoność. Działania na liczbach wyższego poziomu muszą zachowywać własności liczb szczególnych (jeśli wyzerujemy wszystkie dodane elementy, otrzymamy działania na liczbach rzeczywistych). Podobnie matematyka pozwala przeprowadzać obliczenia w wielowymiarowych przestrzeniach, choć nasz umysł nie jest w stanie zobaczyć więcej niż 3 wymiary. Niespełna sto lat temu Einstein wykazał, że uznawany przez tysiące lat aksjomat Euklidesa, iż dwie proste równoległe nigdy się nie przecinają, nie obowiązuje w realnym świecie. Oznacza to, że dwa obiekty, które zawsze poruszają się równolegle, mogą się kiedyś zetknąć w czasoprzestrzeni (wraz ze wzrostem masy). Przy wielkościach ziemskich do obliczeń wystarczy prosta i wygodna geometria Euklidesa, ważne jest by zdać sobie sprawę, że rzeczywistość jest inna niż myślimy.

Nieznajomość praw matematycznych ogranicza nasze myślenie. Często spotykam się z sądem: jeśli Bóg mnie stworzył i zna całe moje życie, to nie jestem wolny, ponieważ wszystko robię według jego planu. Gdybym miał wolną wolę, to Bóg nie wiedziałby co zrobię. Takie myślenie jest błędne, ponieważ myślimy w kategoriach skończonych. Podczas reformacji kalwiniści wierzyli, że ludzie są niczym automaty, z góry skazani na potępienie lub zbawienie, człowiek może jedynie próbować odkryć jakie przeznaczenie zesłał mu Bóg.

Tymczasem ten pozorny paradoks nie istnieje, kiedy uwzględnimy powstałą w XIX wieku teorię mnogości, której elementy poznajemy w szkole podstawowej. Zdefiniujmy wolność, jako możliwość dokonania dowolnego (jednego z nieskończenie wielu) wyboru w dowolnym momencie. Otrzymamy pewien zbiór wszelkich możliwych wyborów (nazwijmy go A), jakie możemy dokonać za życia. Zbiór ten zawiera inny zbiór (C) - zbiór dokonanych wyborów (te które podejmiemy, mimo że ich nie znamy). Zdefiniujmy drugi zbiór (B), który zawiera A i nazwijmy go "wiedza Boga" (skoro Bóg jest wszechmocny, wszechwiedzący etc., zbiór moich wyborów mieści się w jego wiedzy). Choć oba zbiory mają nieszkończoną ilość elementów, możemy wyobrazić sobie to zawieranie jak wykonany przez nauczycielkę matematyki rysunek na tablicy: zbiór liczb naturalnych w małym kole i większe okalające go koło, zbiór liczb całkowitych. Widzimy zatem, że choć zrobię co zechcę, Bóg i tak wie co to będzie. Przy tych założeniach zna nie tylko ścieżkę wyborów mojego życia, ale i wszystkie inne możliwe wybory, jakie mógłbym podjąć.

Ateista może zapytać, po co wplątuję Boga do rozważań. Tu nie chodzi o kwestie wiary, dla niego Bóg może oznaczać tu tylko nazwę zbioru. Chcę pokazać, że wiele paradoksów znika, kiedy poszerzamy nasze pojmowanie.

Ten wpis nie odpowiada na postawione w tytule pytanie, główną myśl będę jeszcze rozwijał. Pokażę, jak nasze myślenie jest silnie zdeterminowane kulturą i historią.